Τετάρτη, 4 Νοεμβρίου 2009

Το παράδοξο του Ζήνωνα...και οι ρωγμές της Λογικής!!!

Ο Ζήνων ο Ελεάτης που γεννήθηκε το 488 π.Χ. στην Ελέα (σημερινή Velia) της Ιταλίας ήταν Ελεατικός φιλόσοφος της Αρχαίας Ελλάδας και ο αγαπημένος μαθητής του Παρμενίδη.  Έζησε μερικά χρόνια στην Αθήνα και λέγεται ότι ανέλυε και εξηγούσε τις θεωρίες και τα δόγματά του στον Περικλή και τον Καλλία για 100 μνες. Υπέρμαχος της ελευθερίας δεν δίστασε να ρισκάρει τη ζωή του για να γλυτώσει την πατρίδα του από έναν τύραννο. Αν και έχουν σωθεί ελάχιστα από τα γραπτά του, τα περισσότερα που γνωρίζουμε για αυτόν προέρχονται από τον Αριστοτέλη στα Φυσικά, βιβλίο 6, κεφάλαιο 9.
Η συνεισφορά του Ζήνωνα στην Ελεατική φιλοσοφία είναι εντελώς αρνητική. Δεν προσέθεσε τίποτα θετικό στη διδασκαλία του Παρμενίδη, παρά αφιερώθηκε στο να αρνείται και να ανταποδεικνύει τις απόψεις των αντιπάλων του. Ο Ζήνων έδειξε πως η κοινή αντίληψη της πραγματικότητας οδηγεί σε παράδοξα και οξύμωρα.
Το γνωστότερο από αυτά τα παράδοξα είναι αυτό με τον Αχιλλέα και τη Χελώνα το οποίο ναι μεν η επιστήμη το απαντά, η λογική όμως αδυνατεί να το εξηγήσει. Αυτό το παράδοξο είναι και αγαπημένο μοτίβο στο έργο του μεγάλου Αργεντινού στοχαστή και συγγραφέα Χόρχε Λ. Μπόρχες. Το χρησιμοποιεί διαρκώς ως παράδειγμα αμφισβήτησης της βεβαιότητας τούτου του κόσμου. Και σημειώνει κάπου: Εμείς έχουμε ονειρευτεί τον κόσμο. Τον έχουμε ονειρευτεί στέρεο, μυστηριώδη, ορατό, πανταχού παρόντα και διαρκή. Όμως, μέσα στη δομή του έχουμε αφήσει κάτι ανεπαίσθητες και ακατάλυτες ρωγμές μη λογικής, που μας λένε ότι είναι ψεύτικος.
.
.
Το παράδοξο του Ζήνωνα:


Ο (ωκύπους) Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και της παραχωρεί ένα προβάδισμα εκατό μέτρων. Ο Αχιλλέας διατρέχει αυτά τα εκατό μέτρα και την ίδια ώρα η χελώνα διατρέχει δέκα. Ο Αχιλλέας διατρέχει αυτά τα δέκα μέτρα και την ίδια ώρα η χελώνα διατρέχει ένα. Ο Αχιλλέας διατρέχει αυτό το ένα και η χελώνα δέκα εκατοστά.
Ο Αχιλλέας τα δέκα εκατοστά και η Χελώνα ένα. Ο Αχιλλέας ένα εκατοστό και η χελώνα ένα χιλιοστό και ούτω καθεξής επ' άπειρον, χωρίς ο Αχιλλέας να μπορέσει ποτέ να φτάσει τη χελώνα!

13 σχόλια:

Βρομιστεράκι είπε...

+1 ναβαρίνο μου γιατί με τα παράδοξα έχω ιδιαίτερη σχέση και ο Ζήνων είναι αγαπημένος όπως καταλαβαίνεις!
Γενικά το άπειρο πάντα δημιουργούσε πρόβλήματα στους φιλοσοφους και στους μαθηματικούς. Στα παράδοξα του απείρου πατάει και θρησκεία...και την πατάει επίσης πολλές φορές ;)
Ευτυχώς ήρθαν ο Κάντορ και ο Χίλμπερτ και βάλαν μια τάξη!

Μανος είπε...

Κάτι εμμονές κι αυτός ο Ζήνωνας ρε παιδί μου...

the monkeys είπε...

ωραίο ποστ ναβαρίνο μας!!!
αλλά δεν ως μονκάκι-καθαρματάκι δεν τα πάω καθόλου καλά με επιστημονικό-μα8ηματικό-φυσικού περιέχομένου παράδοξα κλπ προτιμώ τα θεωρητικά!και φυσικά να βλοτάρω στ κλαδιά!!!:P:P:P

Tyler Durden είπε...

ένα άλλο είναι και το ότι ο Σωκράτης μας έλεγε Ψέμματα με το "εν οίδα, ότι ουδέν οίδα" γιατί αυτοαναιρούνταν: πώς δεν ήξερε τίποτε αφού μας λέει συγχρόνως ότι ένα ξέρει κάτι: πως δεν ξέρει τίποτε

Elva είπε...

Navarino μας

Μονο το παραδοξο του Ζηνωνα ξερεις;
Εγω εχω να σου θεσω τουλαχιστον αλλο ενα: Πώς γινεται ν αγανακτουν,
ειτε με τη Ν.Δ, ειτε με το Πασοκ και να τους ξαναψηφιζουν εναλλαξ καθε 4 χρονια; :)

Ουτε ο ...Ζηνωνας δε μπορει να το λυσει! :PP

kpanagio είπε...

Ναβαρίνο και φίλοι του Ναβαρίνο, βρήκα (στο http://www.ekivolos.gr/Ta paradoja tou Zenona.htm)ένα ενδιαφέρον άρθρο, για τα τέσσερα "παράδοξα της κίνησης του Ζήνωνα", και σας προτρέπω να το διαβάσετε.
Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί ασχολήθηκαν με τα προβλήματα του απείρως μικρού (ή απείρως μεγάλου)καθώς και με τα προβλήματα της συνέχειας και της ασυνέχειας.Τα τελευταία αυτά προβλήματα μπορούν να τεθούν με τον ακόλουθο τρόπο: «Θα έπρεπε να υποθέσουμε ότι ένα μέγεθος είναι απείρως διαιρετό ή ότι—αντίθετα— είναι μία σύνθεση από πολύ μικρά αδιαίρετα μέρη;» Στην Ελληνική αρχαιότητα, τουλάχιστον δύο σχολές σκέψης είχαν αναπτυχτεί χρησιμοποιώντας μία από τις δύο αυτές υποθέσεις. Μία από αυτές, η πλατωνική, δέχεται την ιδέα της άπειρης διαιρετότητας των μεγεθών. Μία άλλη, η σχολή του Δημόκριτου του Αβδηρίτη (460-370 π. Χ) και των μαθητών του, απορρίπτει την ιδέα της συνεχείας και βασίζεται στην περίφημη θεωρία των «ατμήτων», (ατόμων).
Για τους Ελεάτες όμως (όπως ο Ζήνων) το πρόβλημα αυτό είναι χωρίς νόημα γιατί αναφέρεται στον σφαλερό κόσμο της εμφάνισης και όχι στο «όντως όν». Κατ' αυτούς, όχι μόνο ο κόσμος φαίνεται να είναι διαφορετικός απ’ ό,τι είναι, αλλά και ο κόσμος που φαίνεται είναι άλλος από τον κόσμο που είναι.
Έτσι, θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο Παρμενίδης (540-475 π.Χ.) και οι μαθητές του είναι οι πρώτοι στην ιστορία της δυτικής φιλοσοφίας πού διαχωρίζουν μεταξύ εμφάνισης και πραγματικότητας. Με τα παράδοξά του ο Ζήνωνας υπερασπιζόταν την Παρμενίδια θέση, ότι η κίνηση είναι αδύνατη. Στο πρώτο παράδοξο (της διχοτομίας) η κίνηση είναι αδύνατη• στο δεύτερο (του Αχιλλέα και της χελώνας), ο Αχιλλέας αποτυγχάνει να φτάσει μια προπορευόμενη χελώνα. Στο τρίτο παράδοξο, (παράδοξο του Βέλους), ένα κινούμενο βέλος είναι στην πραγματικότητα ακίνητο. Τέλος, στο τέταρτο παράδοξο, (το παράδοξο του Σταδίου), ο Ζήνωνας δείχνει ότι ο χώρος και ο χρόνος δεν αποτελούνται από ελάχιστα, αδιαίρετα στοιχεία.
Για το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας, το κύριο σημείο της άποψης του Β. Russell [βλ.:B.Russell (1965) "Mysticism and Logic" και B.Russell (1938): "The principles of Mathematics"]είναι ή ένα προς ένα αντιστοίχηση των θέσεων του Αχιλλέα και της χελώνας στην ίδια στιγμή της κίνησης τους. Σε κάθε στιγμή της κίνησης τους, ο Αχιλλέας είναι κάπου και ή χελώνα είναι επίσης κάπου• δεν είναι, δε, δυνατόν για κανένα τους να βρίσκεται ποτέ δύο φορές στο ίδιο μέρος κατά την διάρκεια της κούρσας. Έτσι, ο αριθμός των σημείων οπού πηγαίνει ο Αχιλλέας, είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων οπού πηγαίνει ή χελώνα, διότι: ο καθένας είναι σ’ ένα μέρος την μια στιγμή, και σε άλλο μέρος σε μίαν άλλη). Αν ο Αχιλλέας πρόκειται να φτάσει την χελώνα, τότε ο αριθμός των σημείων απ' όπου πέρασε ο Αχιλλέας θα ήταν μεγαλύτερος από τον αριθμό των μερών απ’ οπού πέρασε ή χελώνα. Αυτό δε, πρέπει πράγματι να συμβαίνει αφού ο Αχιλλέας έχει να διανύσει μεγαλύτερη απόσταση από την χελώνα.
Έτσι —κατά τον Russell—, ο Ζήνωνας μας φέρνει αντιμέτωπους με το έξης παράδοξο: ό αριθμός των μερών από τα όποια έχει περάσει ο Αχιλλέας είναι ίσος με τον αριθμό των μερών απ' οπού έχει πέραση ή χελώνα, και —την ίδια στιγμή (στην περίπτωση που ο Αχιλλέας φτάνει την χελώνα) ο αριθμός των μερών πού πέρασε ο Αχιλλέας είναι μεγαλύτερος από αυτόν των μερών πού πέρασε ή Χελώνα. Αυτό όμως είναι μία αντίφαση. Εν τούτοις, τα δύο σύνολα των σημείων έχουν άπειρα μέλη, και όπως ο Cantor έχει δείξει, αυτό είναι ή χαρακτηριστική ιδιότητα των απειροσυνόλων, ότι δηλ. τα μέρη τους —αν όχι ίσα— είναι ισοδύναμα με το «όλον». Συνεπώς, η εκδοχή αυτού του παραδόξου έχει, κατά τον B.Russell, διαφωτισθεί.
Παρ' όλ' αυτά, τα παράδοξα του Ζήνωνα δεν έχουν βρει ακόμα μία ικανοποιητική λύση στους κύκλους των Μαθηματικών, των Φυσικών και των Φιλοσόφων.
Το παράδοξο της Elva, όμως, για τους ψηφοφόρους-οπαδούς, θα λυθεί νομίζω, από μια ρεαλιστική και σύγχρονη αριστερή ανάλυση, χωρίς την ανάγκη των Ελεατών και του Russell….

Tyler Durden είπε...

βασικά τα μαθηματικά είναι ασκήσεις πάνω στο τίποτα, πχ οι ένοιες, σημείο, ευθεία και επίπεδο, είναι οντότητες χωρίς πραγματικό αντίκρισμα. Από την στιγμή που πας να τις υλοποιήσεις, τις δίνεις αυτομάτως διακριτότητα και διαστάσεις παραπάνω από όσες αξιωματικά ορίζονται, όσο απειροελάχιστες και να είναι αυτές.

Μαθηματικός είναι ένας τυφλός άνθρωπος μέσα σε ένα σκοτεινό, μαύρο δωμάτιο, που ψάχνει μια μαύρη γάτα, που δεν είναι εκεί.

crispy είπε...

Καταρχήν να πω ότι η τελευταία παράγραφος στο 2ο σχόλιο του tyler είναι σχεδόν...συγκινητική! Ναι, εκείνα τα παράδοξα των Μαθηματικών πάντα με μάγευαν και με γοήτευαν όπως βλέπω να γοητεύει και να μαγεύει εσάς η ποίηση του Χ.Λ.Μπόρχες , του έχετε μια φανερή αδυναμία , έτσι δεν είναι; Τέλος να πω ότι έχει δίκιο το βρομιστεράκι σε αυτά που λέει . Γενικά έχει ενδιαφέρον η στάση που κράτησε -και κρατά ακόμη- η εκκλησία απέναντι στις επιστήμες.

ippoliti_ippoliti είπε...

Νavarino καλημέρα. Τι να σου πω, κάθε μέρα μπαίνω και διαβάζω την ανάρτηση και τα σχόλια αδιάβαστη είμαι.
Πέρασα μόνο να δηλωσω την παρουσία μου.

navarino-s είπε...

Να είστε καλά ρε παιδιά όλοι που σχολιάσατε την ανάρτηση και που αποδειχτήκατε ευφυέστεροι του αναρτήσαντος αυτήν! Ο οποίος λίαν δολίως, λόγω της απουσίας του σε ταξίδι, σας πέταξε μια σπαζοκεφαλιά για να σας μπερδέψει αλλά όπως αποδείχτηκε εσείς "δεν μασάτε": το ΒΡΟΜΙΣΤΕΡΑΚΙ αποδεικνύεται εξπέρ στα του απείρου και μου πετάει τον Κάντορ και τον μαστρο-Χίλμπερτ και εγώ σηκώνω τα χέρια! ο ΜΑΝΟΣ ο γιατρός πολύ εύστοχα μιλάει για αυτές τις περίεργες εμμονές του Ζήνωνα ενώ τα ΜΟΝΚΑΚΙΑ πηδάνε χαρούμενα από κλαδί σε κλαδί και με τις διαπεραστικές φωνούλες τους λένε πολύ καθαρά "υπάρχουν και οι θεωρητικές προσεγγίσεις της ζωής ναβαρίνο μας" όχι μόνο τα μαθηματικά και ο από βορρά ορμώμενος TYLER DURDEN δένει φιόγγο τον μαστρο-Σωκράτη του "εν οιδα οτι ουδεν οιδα", ενώ από πολύ βορειότερα η ELVA κλέβει την παράσταση με το δικό της καταπληκτικό παράδοξο που δεν απαντιέται "ποτέ των ποτών" και με τίποτα, ενώ ο KPANAGIO κάνει την πλήρη και σε βάθος επιστημονική παρέμβαση βοηθώντας τα μέγιστα με τα τόσα που παραθέτει για το περί "εμφάνισης και πραγματικότητας" μέγιστο θέμα, στο να αποκτήσει η ανάρτηση και το στοιχείο της εγκυρότητας, και επανέρχεται ο TYLER DURDEN με το απίθανο " μαθηματικός είναι ένας τυφλός άνθρωπος μέσα σε ένα σκοτεινό, μαύρο δωμάτιο, που ψάχνει μια μαύρη γάτα, που δεν είναι εκεί" να μας κουφαίνει κάτι που παρατηρεί και σημειώνει η εξαίρετη και λίαν παρατηρητική συνάδελφος CRISPY που πολύ εύστοχα επίσης σημειώνει την έντονη σχεδόν μαγευτική επίδραση του συγγράψαντος από τον Μπόρχες και η αφοπλιστική με την ειλικρίνεια της επίσης ποιοτική συνάδελφος IPPOLITI_IPPOLITI δηλώνει άγνοια για το θέμα, κάτι που έμμεσα συνεπάγεται ότι μας πήρε στα σοβαρά!!!!!!!

john είπε...

Βασικά τα παράδοξα του Ζήνωνα έχουν λυθεί εδώ και κάποια χρόνια από το 2003.
Δείτε:

http://www.peterlynds.net.nz/

navarino-s είπε...

@John
Φίλε μου αυτές οι λύσεις (με αμέτρητες εξισώσεις απειροστικού λογισμού, μοριακής φυσικής και εγώ δεν ξέρω τι άλλο) συνιστούν άλλου παπά ευαγγέλιο, όπως άλλωστε και η εμπειρική γνώση με βάση την οποία όλοι ξέρουμε ότι σίγουρα ο Αχιλλέας θα προσπεράσει τη χελώνα.
Εδώ μιλάμε για το ξεδίπλωμα των συνειρμών της λογικής σκέψης που βγάζουν σε αδιέξοδο.

john είπε...

Ευχαριστώ για την απάντηση και το ενδιαφέρον.
Το ότι ο Αχιλλέας θα φτάσει-προσπεράσει τη χελώνα είναι δεδομένο από την παρατήρηση. Η λογική πέφτει σε αντιφάσεις σε αυτά τα παράδοξα γιατί ξεκινάν από μια λάθος υπόθεση: ένα σώμα σε κίνηση κατέχει μια συγκεκριμένη θέση χ τη χρονική στιγμη τ. Αυτό είναι το λάθος που κάνουμε εδώ και 2500 χρόνια! δεν υπάρχει χρονική στιγμή τ! αν υποθέσεις ότι υπάρχει φάσκεις και αντιφάσκεις. Δεν μπορούμε να κάνουμε θεωρίες οι οποίες είναι αυτοανερούμενες. Είναι τυχαίο ότι ο Αινσταιν έλεγε οτι ο χρονος ειναι μια ψευδαίσθηση;